Question

如圖，BA是⊙O的直徑，延長BA至E，使得AE=AO，過E點作⊙O的割線交⊙O于D、C，使得AD=DC．
（1）求證：OD∥BC；
（2）若ED=2，求⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的周長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）連結(jié)AC，則AD=DC，從而OD⊥AC，又BC⊥AC，由此能證明OD∥BC．
（2）由EA=AO，ED=2，知

OD

BC

=

ED

EC

=

EO

ED

=

2

3

，從而得到EA=

2

，由此能求出四邊形ABCD的周長．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，∵OD是⊙O的半徑，AD=DC，
∴OD⊥AC，
又∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC，
∴OD∥BC．
（2）解：由（1）及EA=AO，ED=2，知

OD

BC

=

ED

EC

=

EO

ED

=

2

3

，
∴EC=3，∵ED•EC=EA•EB=3EA²，
3EA²=2×3，即EA=

2

，
∵CD=EC-ED=1，BC=

3

2

OD=

3

2

EA=

3 2

2

，
∴四邊形ABCD的周長為AD+CD+BC+BA=2+

7 2

2

．

點評：本題考查兩直線平行的證明，考查⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的周長，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運用．