數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an，n∈N*，先計算前4項后，猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
分析：先通過前4項進行歸納猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設(shè)ak=
2k-1
2k-1
，證明
ak+1=
2k+1-1
2k
，即可得到猜想成立．
解答：解：計算得：a1=1，a2=
3
2
，a3=
7
4
，a4=
15
8
． 猜想 an=
2n-1
2n-1
．
證明：當(dāng) ①n=1時，計算得a1=1，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時，ak=
2k-1
2k-1
，則n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=[2(k+1)-ak+1]-(2k-ak)=
2k+1-1
2k-1
-ak+1，
∴ak+1=
2k+1-1
2k
，故當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
綜①②可知，an=
2n-1
2n-1
成立．
點評：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N）
（Ⅰ）計算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通項公式an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）計算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通項公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an，其中Sn=a1+a2+a3+…+an，求a1，a2，a3，a4值，猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{ an }滿足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是數(shù)列{ an }的前n項和．
（Ⅰ）求通項an；
（Ⅱ）記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項和為Tn，若Tn＜2對所有的n∈N*都成立．求證：0＜t≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)數(shù)列{an}滿足Sn=
1
2
(an+
1
an
)，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求Sn；
（2）若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
，是否存在bk=bm（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說明理由．

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