Question

（2013•唐山二模）已知函數(shù)f(x)=lnx+

m

x

，曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線過點(diǎn)（0，1n2）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

2

，5]時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切線斜率k=f′（2），由點(diǎn)斜式可表示出切線方程，代入點(diǎn)（0，1n2）可得m的方程，解出即可；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[

1

2

，5]上的最小值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過比較可得函數(shù)的最大值，從而得到函數(shù)f（x）在[

1

2

，5]上的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

．
則f′（2）=

2-m

4

，f（2）=ln2+

m

2

．
則曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線為y=

2-m

4

（x-2）+ln2+

m

2

，即y=

2-m

4

x+m-1+ln2．
依題意，m-1+ln2=ln2，所以m=1．
故f（x）=lnx+

1

x

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx+

1

x

，f′（x）=

x-1

x2

．
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，此時(shí)，f（x）∈[1，2-ln2]；
當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)，f（x）∈[1，ln5+

1

5

]．
因?yàn)椋╨n5+

1

5

）-（2-ln2）=ln10-

9

5

＞lne²-

9

5

=

1

5

，
所以ln5+

1

5

＞2-ln2．
故f（x）的取值范圍是[1，ln5+

1

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解決問題的能力．