【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,平面,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為,,求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,由中位線定理可證,,再由已知條件可得,可證四邊形為平行四邊形,即可得證結(jié)論;
(2) 平面,點(diǎn)到平面的距離相等,轉(zhuǎn)化為求到平面的距離相等,連接,取的中點(diǎn),連接,,可證,結(jié)合已知可得平面,由直線與平面所成角的定義,得,根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系及中位線定理,求出,可得,由已知條件可得平面,進(jìn)而有,可證平面,為所求距離;或求出三棱錐的體積和的面積,用等體積法,求點(diǎn)到平面的距離
解:(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,,
在中,,分別為,的中點(diǎn),
∴.又∵為中點(diǎn),底面是矩形,
∴,∴,
∴四邊形為平行四邊形,∴.
又∵平面,平面,∴平面.
(2)方法一:連接,取的中點(diǎn),連接,.
在中,,
∵平面,∴平面,
∵與平面所成角為,∴,
∵,∴,
在中,∵,,∴,
∴,
∴為等腰直角三角形,∴,
∵底面為矩形,∴,
∵平面,∴,又,
∴平面.
又平面,∴,
又∵,∴平面,
又∵,,
∴點(diǎn)到平面的距離為.
方法二:連接,取的中點(diǎn),連接.
在中,,
∵平面,∴平面,
∵與平面所成角為,
∴.
∵,∴,在中,
∵,,
∴,,,
∴為等腰直角三角形,∴,
∵底面為矩形,∴,
∵平面,∴,又,
∴平面,∴.
在中,,
在中,.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則
由得.
∴,∴,
∴點(diǎn)到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l過點(diǎn)P(1,1)且與曲線C交于AB兩點(diǎn),求|PA|+|PB|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)與圓O:相切的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求△AOB面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為2的正方體中,點(diǎn)是對角線上的點(diǎn)(點(diǎn)與、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③若的面積為,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在斜三棱柱中,,側(cè)面是邊長為4的菱形,,,、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為A,且橢圓E經(jīng)過與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且直線AC和直線AD的斜率之積為.
(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求證:直線l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,若函數(shù)滿足(其中為函數(shù)的定義域,當(dāng)時(shí),恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”,已知函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”,則的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某餅屋進(jìn)行為期天的五周年店慶活動(dòng),現(xiàn)策劃兩項(xiàng)有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),活動(dòng)一:店慶期間每位顧客一次性消費(fèi)滿元,可得元代金券一張;活動(dòng)二:活動(dòng)期間每位顧客每天有一次機(jī)會(huì)獲得一個(gè)一元或兩元紅包.根據(jù)前一年該店的銷售情況,統(tǒng)計(jì)了位顧客一次性消費(fèi)的金額數(shù)(元),頻數(shù)分布表如下圖所示:
一次性消費(fèi)金額數(shù) | |||||
人數(shù) |
以這位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的頻率分布代替每位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的概率分布.
(1)預(yù)計(jì)該店每天的客流量為人次,求這次店慶期間,商家每天送出代金券金額數(shù)的期望;
(2)假設(shè)顧客獲得一元或兩元紅包的可能性相等,商家在店慶活動(dòng)結(jié)束后會(huì)公布幸運(yùn)數(shù)字,連續(xù)天參加返紅包的顧客,如果紅包金額總數(shù)與幸運(yùn)數(shù)字一致,則可再獲得元的“店慶幸運(yùn)紅包”一個(gè).若公布的幸運(yùn)數(shù)字是“”,求店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望.
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【題目】世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì),簡稱“軍運(yùn)會(huì)”,是國際軍事體育理事會(huì)主辦的全球軍人最高規(guī)格的大型綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì),每四年舉辦一屆,會(huì)期7至10天,比賽設(shè)27個(gè)大項(xiàng),參賽規(guī)模約100多個(gè)國家8000余人,規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì),是和平時(shí)期各國軍隊(duì)展示實(shí)力形象、增進(jìn)友好交流、擴(kuò)大國際影響的重要平臺(tái),被譽(yù)為“軍人奧運(yùn)會(huì)”.根據(jù)各方達(dá)成的共識(shí),軍運(yùn)會(huì)于2019年10月18日至27日在武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).其中,空軍五項(xiàng)、軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個(gè)項(xiàng)目為軍事特色項(xiàng)目,其他項(xiàng)目為奧運(yùn)項(xiàng)目.現(xiàn)對某國在射擊比賽預(yù)賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如下的頻率分布直方圖:
(1)估計(jì)某國射擊比賽預(yù)賽成績得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)根據(jù)大量的射擊成績測試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為射擊成績近似地服從正態(tài)分布,經(jīng)計(jì)算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50,用樣本平均數(shù)作為的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,求射擊成績得分恰在350到400的概率;[參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則:,,;
(3)某汽車銷售公司在軍運(yùn)會(huì)期間推廣一款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”,活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營”,則可獲得購車優(yōu)惠券.已知骰子出現(xiàn)任意點(diǎn)數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格,第1格,第2格,……第50格.遙控車開始在第0格,客戶每拋擲一次骰子,遙控車向前移動(dòng)一次,若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4,5點(diǎn),遙控車向前移動(dòng)一格(從到),若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn),遙控車向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車移動(dòng)到第49格(勝利大本營)或第50格(失敗大本營)時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移動(dòng)到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求,以及根據(jù)的值解釋這種游戲方案對意向客戶是否具有吸引力.
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