Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=e^x（x＞0）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，e^m），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=m處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，求出切線方程，從而求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，將t用m表示出來，最后借助導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，e^m）．
∴該圖象在點(diǎn)P處的切線l的方程為y-e^m=e^m（x-m）．
令x=0，解得y=（1-m）e^m．
過點(diǎn)P作l的垂線的切線方程為y-e^m=-e^-m（x-m）．
令x=0，解得y=e^m+me^-m．
∴線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t=

1

2

[（2-m）e^m+me^-m]．
t'=

1

2

[-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1．
當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，t'＞0，當(dāng)m∈（1，+∞）時(shí)，t'＜0．
∴當(dāng)m=1時(shí)t取最大值

1

2

（e+e^-1）．
故答案為：

1

2

（e+e^-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．