【題目】（1）求與橢圓有共同焦點且過點的雙曲線的標準方程；

（2）已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上的點到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和的值．

【答案】（1）；（2），．

【解析】

試題（1）由題意得可得橢圓的焦點坐標為和，設(shè)出雙曲線的方程：，得，又雙曲線過點，可得，從而求解的值，得到雙曲線的方程；（2）設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)拋物線的定義點到焦點的距離等于等于點到準線的距離為，即，求解的值，得到拋物線的方程，從而求解實數(shù)的值．

試題解析：（1）橢圓的焦點為，，

設(shè)雙曲線的標準方程為（，），則．

又雙曲線過點， ．

綜上，得，，

所求雙曲線的標準方程為．

（2）設(shè)拋物線方程為（），則焦點，準線方程為，

根據(jù)拋物線的定義，點到焦點的距離等于，也就是到準線的距離為，則， ，

因此，拋物線方程為，

又點在拋物線上，于是， ．

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線C的極坐標方程；

（2）在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點，求△ABM面積的最小值．

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【題目】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品．

（1）若廠家?guī)旆恐校ㄒ暈閿?shù)量足夠多）的每件產(chǎn)品合格的概率為 從中任意取出 3件進行檢驗，求至少有 件是合格品的概率；

（2）若廠家發(fā)給商家 件產(chǎn)品，其中有不合格，按合同規(guī)定 商家從這 件產(chǎn)品中任取件，都進行檢驗，只有 件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．

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【題目】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．

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【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點是棱上不同于的動點.

（1）證明：；

（2）若平面將棱柱分成體積相等的兩部分，求此時二面角的余弦值.

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【題目】如圖，長方體中，,點是的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大�。�

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【題目】問：是否存在這樣的正整數(shù)數(shù)列，滿足，且對每個，均有或；而其各項的值恰構(gòu)成的一個排列？證明你的結(jié)論.

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【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開展“中國漢字聽寫大會”的活動，為響應(yīng)學(xué)校號召，某班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期6次成績畫出的莖葉圖如圖所示，甲的成績中有一個數(shù)的個位數(shù)字模糊，在莖葉圖中用a表示.已知甲、乙兩人成績的平均數(shù)相同.

（1）根據(jù)題目信息，求a的值；

（2）現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從穩(wěn)定性的角度，你認為派誰參加比賽較合適？

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【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾.

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（2）若這4名觀眾都是男性，設(shè)X表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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