【題目】如圖，在四面體中，,.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若與平面所成的角為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求二面角的大小.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）由勾股定理可得， 則，，進(jìn)一步可得， 則.

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論和幾何關(guān)系，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面BDE的法向量為，且是平面CBD的一個(gè)法向量．結(jié)合空間向量計(jì)算可得二面角的大小為．

詳解：（Ⅰ）由已知得，

，

又，，

，

，

又，，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB與平面BCD所成的角為，即，

設(shè)BD＝2，則BC＝2，在中，AB＝4，

由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD內(nèi)，過點(diǎn)B作，則平面ABC，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，由，

，

得，

∴，，

設(shè)平面BDE的法向量為，

則，取，解得，

∴是平面BDE的一個(gè)法向量，

又是平面CBD的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的大小為，易知為銳角，

則，

∴，即二面角的大小為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知二次函數(shù)（、、均為實(shí)常數(shù)，）的最小值是0，函數(shù)的零點(diǎn)是和，函數(shù)滿足，其中，為常數(shù).

（1）已知實(shí)數(shù)、滿足、，且，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)，，直線的斜率為k，若恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個(gè)等值域變換．

（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個(gè)等值域變換？說明你的理由；

，；

，．

（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，那么“”是否為“是的一個(gè)等值域變換”的一個(gè)必要條件？請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)的定義域?yàn)?/span>，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面有五個(gè)命題：

①函數(shù)的最小正周期是；

②終邊在y軸上的角的集合是；

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；

④把函數(shù)；

⑤在中，若，則是等腰三角形；

其中真命題的序號(hào)是（ ）

A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4）

C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱臺(tái)中， 側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若,且.

（Ⅰ）若， ，證明： ∥平面；

（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，且在平面上的射影在線段上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)二面角為，求的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

(1)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l：y＝kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，0），求△PMQ的面積．

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