Question

【題目】（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題9分）

設函數的定義域為，值域為，如果存在函數，使得函數的值域仍是，那么稱是函數的一個等值域變換．

（1）判斷下列函數是不是函數的一個等值域變換？說明你的理由；

，；

，．

（2）設函數的定義域為，值域為，函數的定義域為，值域為，那么“”是否為“是的一個等值域變換”的一個必要條件？請說明理由；

（3）設的定義域為，已知是的一個等值域變換，且函數的定義域為，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）不是；（3），.

【解析】

試題（1）根據定義易得①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）舉反例易知“” 不是“是的一個等值域變換”的一個必要條件；（3）由題可得的值域為，所以在上恒成立，求得，.

試題解析：（1）①不是等值域變換，

②，即的值域為，

當時，，即的值域仍為，所以 是的一個等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；

（2）不必要性的反例：，，

此時，但的值域仍為，

即是的一個等值域變換，（反例不唯一）

∴ “” 不是“是的一個等值域變換”的一個必要條件；

（3）定義域為，因為是的一個等值域變換，且函數的定義域為，∴ 的值域為，

，

∴ 恒有， 解得.