如圖，已知在正四面體ABCD中，O為A在BCD面內(nèi)的射影，M為AO中點(diǎn)，求證MB、MC、MD兩兩垂直．

答案：
解析：

證明 設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為A．由ABCD為正四面體，知O為△BCD中心．延長(zhǎng)BO，交CD于E，連結(jié)ME．BE=a，OE=a，BO=A．在Rt△AOB中，AO==，故MO=a．

在Rt△MBO中，MB=．

∵

∴ BM⊥ME．

又由三垂線定理，知BM⊥CD，ME∩CD=E，故BM⊥平面MCD．又，故BM⊥MC，BM⊥MD．

同理可證MC⊥MD，MC⊥MB．故MB、MC、MD兩兩垂直．

本題還可在求出MB=a后，同理可知MC=MD=a．

∵，

∴MB⊥MC．

同理MB⊥MD，MD⊥MC．

∴MB、MC、MD兩兩垂直．

通過(guò)“計(jì)算”來(lái)證明線線垂直是此例證明的特點(diǎn)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中點(diǎn)，CF＝，AG＝，給出下列四個(gè)命題：①AC⊥BD，②FG＝，③側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為，④，其中真命題的序號(hào)是（     ）

A．①②③    B．①②④    C．②③④    D．①③④

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如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省南通市通州高級(jí)中學(xué)高考綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

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