Question

4．如圖所示的多面體ABCDE中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，AE=BE．
（Ⅰ）若M是DE的中點(diǎn)，試在AC上找一點(diǎn)N，使得MN∥平面ABE，并給出證明；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求，MN∥BE，由線線平行⇒線面平行；
（II）取AB的中點(diǎn)F，連接EF，求出EF，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，交線為EF，證明EF為四棱錐E-ABCD的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 證明：（I）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求，
證明如下：
∵ABCD為正方形，
∴N是BD的中點(diǎn)，又M是DE中點(diǎn)，
容易知道MN∥BE，
BE?平面ABE，
MN?平面ABE，
∴MN∥平面ABE
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)F，連接EF
因?yàn)椤鰽BE是等腰直角三角形，并且AB=2
所以EF⊥AB，$EF=\frac{1}{2}AB=1$
∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
EF?平面ABE，
∴EF⊥平面ABCD，即EF為四棱錐E-ABCD的高，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•EF$=$\frac{1}{3}×{2^2}×1=\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的證明，考查了棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力能力與推理論證能力．