Question

3．已知f（x）=xlnx，g（x）=x²-x-1，若d＞f（x）-g（x），對?x∈（0，+∞）恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)xlnx-（x²-x-1），由導數(shù)求得函數(shù)h（x）的最大值，即可求d的取值范圍．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-（x²-x-1），則h′（x）=2+lnx-2x，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，h″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0，∴h′（x）＜h′（1）=0，h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∵d＞f（x）-g（x），對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴d＞1．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x），把問題轉(zhuǎn)化為d＞h（x）_max．