Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n+1=2S_n+6，且a₁=6．
（1）求a₂的值：
（2）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過在a_n+1=2S_n+6中令n=1，利用a₁=6計算即得結(jié)論；
（2）通過a_n+1=2S_n+6與a_n+2=2S_n+1+6作差、整理可知a_n+2=3a_n+1，通過（1）可知a₂=3a₁滿足上式，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以6為首項、3為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵a_n+1=2S_n+6，且a₁=6，
∴a₂=2S₁+6
=2a₁+6
=2×6+6
=18；
（2）證明：∵a_n+1=2S_n+6，
∴a_n+2=2S_n+1+6，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=2a_n+1，
整理得：a_n+2=3a_n+1，
又由（1）可知a₂=3a₁滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項、3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=6•3^n-1=2•3ⁿ，
S_n=$\frac{6（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ⁺¹-3．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．