Question

7．若圓臺(tái)兩底面周長(zhǎng)的比是1：4，過高的中點(diǎn)作平行于底面的平面，則圓臺(tái)被分成兩部分的體積比是（　�。�

• A． 1：16
• B． 39：129
• C． 13：129
• D． 3：27

Answer 1

分析 如圖所示，不妨設(shè)圓臺(tái)上底面為1，則下底面半徑為4，中截面半徑為r．設(shè)半徑為1，r，4的3個(gè)圓錐的體積分別為V₁，V₂，V₃．設(shè)PO₁=h，OO₁=OO₂=x，由于O₁A₁∥OA∥O₂A₂，可得$\frac{h}{h+x}=\frac{1}{r}$，$\frac{h}{h+2x}=\frac{1}{4}$，解得r，x．再利用圓臺(tái)的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，不妨設(shè)圓臺(tái)上底面為1，則下底面半徑為4，中截面半徑為r．
設(shè)半徑為1，r，4的3個(gè)圓錐的體積分別為V₁，V₂，V₃．
設(shè)PO₁=h，OO₁=OO₂=x，
∵O₁A₁∥OA∥O₂A₂，
∴$\frac{h}{h+x}=\frac{1}{r}$，$\frac{h}{h+2x}=\frac{1}{4}$，
解得$r=\frac{5}{2}$，x=$\frac{3}{2}h$．
∴V₂-V₁=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h•[{1}^{2}+1×\frac{5}{2}+（\frac{5}{2}）^{2}]$π=$\frac{39πh}{8}$，
V₃-V₂=$\frac{1}{3}×\frac{3h}{2}•π[（\frac{5}{2}）^{2}+4×\frac{5}{2}+{4}^{2}]$=$\frac{129πh}{8}$，
∴圓臺(tái)被分成兩部分的體積比=39：129．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓臺(tái)的體積計(jì)算公式、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．