Question

13．解下列線性規(guī)劃問題
（1）設z=3x+4y，式中的變量x，y滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3\\}\\{y≤2x}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最大值z_max
（2）設z=x+y，式中的變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2\\}\\{5x+2y≥6}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最小值z_min．

Answer 1

分析 作出不等式組對于的平面區(qū)域，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：（1）作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≤3&\\ y≤2x\\ x，y≥0\end{array}\right.$對于的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+4y，則y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，平移直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，由圖象可知當直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
經(jīng)過點A時，直線y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=3&\\ y=2x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$，即A（1，2），
此時z_max=3×1+4×2=11，
故答案為：11．
（2）作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2&\\ 5x+2y≥6\\ x，y≥0\end{array}\right.$對于的平面區(qū)域如圖：
由z=x+y，則y=-x+z，平移直線y=-x+z，由圖象可知當直線y=-x+z
經(jīng)過點A時，直線y=-x+z的截距最小，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y=2&\\ x=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，即A（0，1），
此時z_min=0+1=1，
故答案為：1．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵