Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當時，證明：函數(shù)不是奇函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；

（3）若是奇函數(shù)，且在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，，因為，，

所以，故不是奇函數(shù)； ……………………………………4分

（Ⅱ）函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)， ………………………………………… 6分

證明：設(shè)，則……… 8分

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故。

∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)。…………………………………………………10分

（Ⅲ）因為是奇函數(shù)，所以對任意恒成立。

即對任意恒成立．

化簡整理得對任意恒成立． ∴…………………12分

又因為在時恒成立，

所以在時恒成立，

令，設(shè)，且，

則

由（Ⅱ）可知，，又，

所以，即，

故函數(shù)在上是增函數(shù)。………………………14分

所以，由。

因此的取值范圍是。 ………………………………………………16分

【解析】試題分析：（1）舉個反例，使得f（-a）≠-f（a）即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明即可，注意指數(shù)函數(shù)y=2x性質(zhì)的運用；（3）先根據(jù)題意求出a的值，然后f（x）≥x2-4x+m在x∈[-2，2]時恒成立，將式子變形為f（x）-（x2-4x）≥m在x∈[-2，2]時恒成立即可，在研究左邊函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值即可

試題解析：（1）當時，，因為，，

所以，故不是奇函數(shù)；

（2）函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，

證明：設(shè)，則

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故

∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)

（3）因為是奇函數(shù)，所以對任意恒成立。

即對任意恒成立．

化簡整理得對任意恒成立． ∴

因為在時恒成立，

令，設(shè)，且，

則

由（2）可知，，又，

所以，即，

故函數(shù)在上是增函數(shù) (直接判斷出單調(diào)性也給分)

所以，由

因此的取值范圍是