Question

對于區(qū)間[a，b]（a＜b），若函數(shù)y=f（x）同時滿足：①f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，則稱區(qū)間[a，b]為函數(shù)f（x）的“保值”區(qū)間．
（1）求函數(shù)y=x²的所有“保值”區(qū)間；
（2）函數(shù)y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中保值”區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)y=x²的值域是[0，+∞），我們可得[a，b]⊆[0，+∞），從而函數(shù)y=x²在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則，結(jié)合a＜b即可得到函數(shù)y=x²的“保值”區(qū)間．
（2）根據(jù)已知中保值”區(qū)間的定義，我們分函數(shù)y=x²+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，和函數(shù)y=x²+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，兩種情況分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
解答：解：（1）因為函數(shù)y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，從而函數(shù)y=x²在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，
故有解得
又a＜b，所以所以函數(shù)y=x²的“保值”區(qū)間為[0，1]．…（3分）
（2）若函數(shù)y=x²+m（m≠0）存在“保值”區(qū)間，則有：
①若a＜b≤0，此時函數(shù)y=x²+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，
所以 消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因為a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又所以 ．
因為 ，所以 ．…（6分）
②若b＞a≥0，此時函數(shù)y=x²+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，
所以 消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因為a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又所以 ．
因為 ，所以 ．
因為 m≠0，所以 ．…（9分）
綜合 ①、②得，函數(shù)y=x²+m（m≠0）存在“保值”區(qū)間，此時m的取值范圍是．…（10分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的值，其中正確理解新定義的含義，并根據(jù)新定義構(gòu)造出滿足條件的方程（組）或不等式（組）將新定義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)熟悉的數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．