Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1（n∈N^*）
（1）當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂、a₃、a₄，并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a₁≥2時(shí)，證明：對(duì)?n∈N^*，有a_n≥n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，把n=1，2，3分別代入可求a₂，a₃，a₄的值，歸納數(shù)列中每一項(xiàng)的值與序號(hào)的關(guān)系，我們可以歸納推理出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）a_n≥n+1的證明可以使用數(shù)學(xué)歸納法，先證明n=1時(shí)不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+1恒成立．

解答： 解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
故猜想a_n=n+1；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥2=1+1，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k≥k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+1
據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律．歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學(xué)歸納法等方法對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證