已知f（x）=x+bx2+alnx，又y=f（x）的圖象過P（1，1）點，且在P處切線的斜率為2．
（1）求a，b的值
（2）證明f（x）≤2x-1．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用
分析：（1）求導數(shù)，利用y=f（x）的圖象過P（1，1）點，且在P處切線的斜率為2，建立方程，即可求a，b的值
（2）設g（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，確定g（x）在x=1處取得最大值g（1）=0，即可證明結(jié)論．
解答： （1）解：因為f（x）=x+bx2+alnx，
所以f′（x）=1+2bx+
a
x
，
因為y=f（x）的圖象過P（1，1）點，且在P處切線的斜率為2，
所以1+b=1，1+2b+a=2，
所以a=1，b=0；
（2）證明：設g（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，
所以g′（x）=
1-x
x
，
所以g（x）在x=1處取得最大值g（1）=0，
所以g（x）≤0，
所以f（x）≤2x-1．
點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，在切點處的導數(shù)值是切線斜率，考查不等式的證明，構造函數(shù)是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某學校舉辦趣味運動會，甲、乙兩名同學報名參加比賽，每人投籃2次，每次等可能選擇投2分球或3分球．據(jù)賽前訓練統(tǒng)計：甲同學投2分球命中率為
3
5
，投3分球命中率為
3
10
；乙同學投2分球命中率為
1
2
，投3分球命中率為
2
5
，且每次投籃命中與否相互之間沒有影響．
（1）若甲同學兩次都選擇投3分球，求其總得分ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）記“甲、乙兩人總得分之和不小于10分”為事件A，記“甲同學總得分大于乙同學總得分”為事件B，求P（AB）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，點P是圓x2+y2=4上一動點，PD⊥x軸于點D，記滿足
OM
=
1
2
（
OP
+
OD
）的動點M的軌跡為Γ．
（Ⅰ）求軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m與軌跡F交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡F于點Q，且
OQ
=λ
OG
，λ∈R．
①證明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面積S（λ）的解析式，并計算S（λ）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程ax2+4x+b=0（a＜0）的兩實根為m，n，方程ax2+3x+b=0的兩實根為p，q．
（1）若a，b均為負整數(shù)，且|p-q|=1，求a，b的值；
（2）若p＜1＜q＜2，m＜n，求證：-2＜m＜1＜n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
|x+1|+|x-2|-a

（1）當a=5時，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知xi＞0（i=1，2，3，…，n），我們知道有（x1+x2）（
1
x1
+
1
x2
）≥4成立．
（Ⅰ）請證明（x1+x2+x3）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9；
（Ⅱ）同理我們也可以證明出（x1+x2+x3+x4）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+
1
x4
）≥16
由上述幾個不等式，請你猜測與x1+x2+…+xn和
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
（n≥2，n∈N*）有關的不等式，并用數(shù)學歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足an+1=an2-nan+1（n∈N*）
（1）當a1=2時，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一個通項公式；
（2）當a1≥2時，證明：對?n∈N*，有an≥n+1．

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