（2013•廣東模擬）已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形．
（I） 求橢圓C1的方程；
（II） 設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C2：y=x2+h（h∈R）與C1的公共點(diǎn)，C2在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與C1交于點(diǎn)另一點(diǎn)M．Q是P關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，問(wèn)中否存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．
分析：（I）利用橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C1的方程；
（II）假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，利用
QP
•
QM
=0，
QM
∥
OA
，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，∵橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形
∴b=1，2•
b2
a
=1
∴a=2，b=1
∴所求的橢圓方程為
y2
4
+x2=1，
（II）不妨設(shè)P（t，t2+h），M（x0，y0），則（t2+h）2+4t2-4=0（1）
假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，則
QP
•
QM
=0
∵
QM
∥
OA

∴M（-t，-t2-h），∴2t=
t2+h
t

∴h=t2＞0
代入（1）得h2+h-1=0
∴h=
5
-1
2
  
∴存在h=
5
-1
2
，使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求得橢圓的方程是關(guān)鍵．
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AP
•(
AB
+
AC
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