Question

9．某校進行教工趣味運動會，其中一項目是投籃比賽，規(guī)則是：每位教師投二分球四次，投中三個可以再投三分球一次，投中四個可以再投三分球三次，投中球數(shù)小于3則沒有機會投三分球，所有參加的老師都可以獲得一個小獎品，每投中一個三分球可以再獲得一個小獎品．某位教師二分球的命中率是$\frac{1}{2}$，三分球的命中率是$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求該教師恰好投中四個球的概率；
（Ⅱ）記該教師獲得獎品數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）該位教師投中四個球可以分為兩個互斥事件，投中三個二分球一個三分球、投中四個二分球，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4），P（ξ=2）表示投中三個二分球一個三分球、投中四個二分球與投三次3分球只投中一次三分球，P（ξ=3）表示投中四個二分球兩個三分球，P（ξ=4）表示投中四個二分球與3個三分球，可得ξ的分布列，利用數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）該位教師投中四個球可以分為兩個互斥事件，投中三個二分球一個三分球、投中四個二分球，
∴概率是$P=C_4^3×{（\frac{1}{2}）^4}×\frac{1}{3}+{（\frac{1}{2}）^4}×{（\frac{2}{3}）^3}$=$\frac{11}{108}$；
（Ⅱ）ξ可能取值有1，2，3，4，
$P（ξ=2）=C_4^3×{（\frac{1}{2}）^4}×\frac{1}{3}+{（\frac{1}{2}）^4}×C_3^1×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}$=$\frac{1}{9}$，$P（ξ=3）={（\frac{1}{2}）^4}×C_3^2×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{72}$，$P（ξ=4）={（\frac{1}{2}）^4}×{（\frac{1}{3}）^3}$=$\frac{1}{432}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{377}{432}$．
∴ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{377}{432}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{432}$

數(shù)學(xué)期望是$Eξ=\frac{377}{432}+\frac{2}{9}+\frac{3}{72}+\frac{4}{432}$=$\frac{55}{48}$．

點評 本題考查了隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、相互獨立與互斥事件的概率計算公式、組合數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．