Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PD⊥平面ABCD，AD=AB=PD=3，BC=1，過AD作一平面分別相交PB，PC于電E，F(xiàn)
（Ⅰ）求證AD∥EF
（Ⅱ）設(shè)BE=$\frac{1}{3}$BP，求AE于平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可證出AD∥EF；
（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)過A作AG⊥AD，這樣即可說明AB，AD，AG三直線兩兩垂直，從而可以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AG所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．這樣即可求出向量$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，從而可求出平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$，而根據(jù)BE=$\frac{1}{3}$BP即可求出點E的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)，若設(shè)直線AE和平面PBC成的角為θ，則根據(jù)sinθ=|$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}＞$|即可求得θ的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC；
∴AD∥平面PBC；
又AD?平面ADFE，平面PBC∩平面ADFE=EF；
∴AD∥EF；
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD；
∴平面PAD⊥平面ABCD；
如圖，在平面PAD內(nèi)過點A作AG⊥AD，則AG⊥平面ABCD；

∵∠BAD=90°，∴AB，AD，AG三條直線兩兩垂直；
∴以A為坐標(biāo)原點，分別以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AG}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，1，0），D（0，3，0），P（0，3，3）；
∴$\overrightarrow{BP}=（-3，3，3）$，$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0）；
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則：
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}_{1}+3{y}_{1}+3{z}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={z}_{1}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1；
∴平面PBC的一個法向量$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$；
設(shè)點E（x，y，z），由$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BP}$得，
$（x-3，y，z）=\frac{1}{3}（-3，3，3）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$；
∴E（2，1，1）；
∴$\overrightarrow{AE}=（2，1，1）$；
設(shè)AE與平面PBC所成角的大小為θ，則：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$θ=\frac{π}{3}$；
故AE與平面PBC所成角的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的方法，能求空間點的坐標(biāo)，以及平面法向量的概念及求法，線面角的概念及范圍，兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．