二次函數(shù)y=x2-2x+2與y=-x2+ax+b（a＞0，b＞0）在它們的一個交點處切線互相垂直，則
1
a
+
4
b
的最小值為
 
．
考點：基本不等式
專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用
分析：先對兩個二次函數(shù)進行求導，然后設交點坐標，根據(jù)它們在一個交點處的切線相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．
解答： 解：∵y=x2-2x+2，
∴y'=2x-2
∵y=-x2+ax+b，
∴y'=-2x+a
設交點為（x0，y0），
∵它們的一個交點處切線互相垂直，
∴（2x0-2）（-2x0+a）=-1，
2x02-（2+a）x0+2-b=0
4x02-（2a+4）x0+2a-1=0，
4x02-（4+2a）x0+4-2b=0  
整理得 2a-1-4+2b=0，
即a+b=
5
2
，
∴
2a
5
+
2b
5
=1，
∵
1
a
+
4
b
=（
1
a
+
4
b
）（
2a
5
+
2b
5
）=
2
5
+
8
5
+
8a
5b
+
2b
5a
≥2+2
8a
5b
?
2b
5a
=2+2×
4
5
=
18
5
，
當且僅當時
8a
5b
=
2b
5a
，即b=2a時，等號成立．
故
1
a
+
4
b
的最小值為
18
5
．
故答案為：
18
5
點評：本題主要考查基本不等式的應用，利用導數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．綜合性較強，運算量較大．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為2，圖象的頂點在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點（3，-2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）當0≤x≤3時，求二次函數(shù)的最大值與最小值，并求此時x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

公安部最新修訂的《機動車駕駛證申領和使用規(guī)定》于2013年1月1日起正式實施，新規(guī)實施后，獲取駕照要經(jīng)過三個科目的考試，先考科目一（理論一），科目一過關(guān)后才能再考科目二（樁考和路考），科目二過關(guān)后還要考科目三（理論二）．只有三個科目都過關(guān)后才能拿到駕駛證．某駕校現(xiàn)有100名新學員，第一批參加考試的20人各科目通過的人數(shù)情況如下表：
參考人數(shù) 通過科目一人數(shù) 通過科目二人數(shù) 通過科目三人數(shù)
20 12 4 2
請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)：
（Ⅰ）估計該駕校這100名新學員有多少人一次性（不補考）獲取駕駛證；
（Ⅱ）第一批參加考試的20人中某一學員已經(jīng)通過科目一的考試，求他能通過科目二卻不能通過科目三的概率；
（Ⅲ）該駕校為調(diào)動教官的工作積極性，規(guī)定若所教學員每通過一個科目的考試，則學校獎勵教官100元．現(xiàn)從這20人中隨機抽取1人，記X為學校因為該學員而獎勵教官的金額數(shù)，求X的數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則
1
m
+
2
n
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標出的數(shù)據(jù)，這個幾何體的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
1
1-x
的圖象與y=3sinπx（-1≤x≤3）的圖象所有交點橫坐標之和為（　�。�
A、2B、4C、6D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，若S20=100，且a1+a2+a3=4，則a18+a19+a20=（　�。�
A、20B、24C、26D、30

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinα+cosα=
1
4
，sinα•cosα=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．
（1）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
（2）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

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