Question

已知函數f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）=m有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質,有理數指數冪的化簡求值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用指數函數的性質求出a的值，然后求g（x）的解析式．
（2）根據指數函數的性質，利用換元法轉化為一元二次函數求值域，進而可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=9•3^a=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=3log32•x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

，
∵-1≤x≤1，
∴

1

2

≤2x≤2，
∴設t=2^x，則

1

2

≤t≤2，
則函數g（x）等價為h（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∴h（t）單調遞減，
∴-2≤h（t）≤

1

4

，
即函數g（x）的值域為[-2，

1

4

]．
若方程g（x）=m有解，
則m∈[-2，

1

4

]，
故m的取值范圍為[-2，

1

4

]．

點評：本題主要考查指數函數和二次函數的性質，利用換元法將函數轉化為關于t的一元二次函數是解決本題的關鍵．