Question

已知首項為a（a≠0）的數列{a_n}的前n項和為S_n，，若對任意的正整數m、n，都有=．
（Ⅰ）證明：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若a=1，數列{b_n}的首項為b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）項b_n是數列{a_n}的第b_n-1項，求證：數列|b_n-1|為等比數列；
（Ⅲ）若對（Ⅱ）中的數列{a_n}和{b_n}及任意正整數n，均有+b_n+11≥0成立，求實數b的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：在中，取m=1，得，即S_n=n²a，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²a，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，
當n=1時，a₁=a也適合上式，
∴a_n=（2n-1）a，n∈N⁺，
∵a_n+1-a_n=2a，
∴{a_n}是以a為首項，2a為公差的等差數列．
（Ⅱ）證明：當a=1時，由（Ⅰ）可得a_n=2n-1，
∴b_n=2b_n-1-1，
即有b_n-1=2（b_n-1-1），
b₁-1=b-1≠0，
∴{b_n-1}是以b-1為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n-1=（b-1）•2^n-1，
∴b_n=1+（b-1）•2^n-1，
∴由題意得，不等式2^2n-1+（b-1）•2^n-1+12≥0對任意正整數n恒成立，
即=恒成立．
設t=2ⁿ（t=2，4，8，…），則恒成立，
對于函數y=，
．
當x∈時，y′＜0，當x∈和（2，+∞）時，y′＞0，
∴函數在上單調減，在和（2，+∞）上單調增．
又當x=4時，y=10；當x=8時，y=11，∴的最小值是10．∴=-10．
即b≥-9，
∴實數b的最小值是-9．
分析：（Ⅰ）在中，取m=1，得，即S_n=n²a，所以a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，由此能求出{a_n}是以a為首項，2a為公差的等差數列．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，b_n=2b_n-1-1，知b_n-1=2（b_n-1-1），由此能夠證明|b_n-1|都給以b-1為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅲ）由b_n-1=（b-1）•2^n-1，b_n=1+（b-1）•2^n-1，由題意得，不等式不承認真即=恒成立．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．