Question

設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

．已知點(diǎn)P(0，

3

2

)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

7

，求這個(gè)橢圓方程．

Answer 1

分析：先設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）為橢圓上的點(diǎn)，由離心率得a=2b，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PM|²若b＜

1

2

，則當(dāng)y=-b時(shí)|PM|²最大，這種情況不可能；若b≥

1

2

時(shí)，y=-

1

2

時(shí)4b²+3=7，從而求出b值，最后求得所求方程．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）為橢圓上的點(diǎn)，由

c

a

=

3

2

得a=2b，
|PM|2=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b2+3(-b≤y≤b)，
若b＜

1

2

，則當(dāng)y=-b時(shí)|PM|²最大，即(-b-

3

2

)2=7，
∴b=

7

-

3

2

＞

1

2

，故矛盾．
若b≥

1

2

時(shí)，y=-

1

2

時(shí)，
4b²+3=7，
b²=1，從而a²=4．
所求方程為 

x2

4

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．