Question

將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，這樣就得到函數(shù)f（x）的圖象，若g（x）=f（x）cosx+

3

．
（1）將函數(shù)表示為g（x）=Asin（ωx+φ）+B（其中A，ω＞0，φ∈[-

π

2

，

π

2

]）的形式；
（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

12

，θ]上的最大值為2，求θ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的定義域和值域

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由函數(shù)圖象的平移得到f（x）=4sin（x-

π

3

）．
（1）把f（x）代入g（x）=f（x）cosx+

3

，展開(kāi)兩角差的正弦后整理為asinθ+bcosθ，提取

a2+b2

后得答案；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，結(jié)合函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

12

，θ]上的最大值為2得到2θ-

π

3

的最小值為

π

2

，則答案可求．

解答： 解：將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y=sin（x-

π

3

），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，得到函數(shù)f（x）的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f（x）=4sin（x-

π

3

）．
則g（x）=f（x）cosx+

3

=4sin（x-

π

3

）cosx+

3

=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

=sin2x-

3

cos2x．
（1）g（x）=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)=2sin(2x-

π

3

)；
（2）∵x∈[-

π

12

，θ]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

2

，2θ-

π

3

]．
要使函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

12

，θ]上的最大值為2，則2θ-

π

3

的最小值為

π

2

，即θ=

5π

12

．
∴θ的最小值是

5π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦函數(shù)的值域的求法，是中檔題．