Question

正方形ABCD被對(duì)角線BD和以A為圓心，AB為半徑的圓弧

DB

分成三部分，繞AD旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V₁、V₂、V₃之比是（　�。�

• A、2：1：1
• B、1：2：1
• C、1：1：1
• D、2：2：1

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求出圖1、2、3旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積，由此即可得到三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．

解答： 解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，可得
圖1旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為以AD為軸的圓錐體，高AD=1且底面半徑r=1
∴該圓錐的體積為V₁=

1

3

π×AB²×AD=

1

3

π；
圖2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AD為半徑的一個(gè)半球，減去圖1旋轉(zhuǎn)所得圓錐體而形成，
∴該圓錐的體積為V₂=

1

2

×

4

3

π×AD²-V₁=

1

3

π；
圖3旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AD為軸的圓柱體，減去圖2旋轉(zhuǎn)所得半球而形成，
∴該圓錐的體積為V₃=π×AB²×AD-V_半球=π-

2

3

π=

1

3

π
綜上所述V₁=V₂=V₃=

1

3

π，
由此可得圖中1、2、3三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比為1：1：1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形ABCD被圓弧分成的三部分，求它們旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積之比，著重考查了圓柱、圓錐和球的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．