Question

已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．圓C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；
（2）若直線l被圓C截得的線段的長(zhǎng)度為4

6

，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）整理，解方程組，即可得出結(jié)論；
（2）若直線l被圓C截得的線段的長(zhǎng)度為4

6

，則圓心到直線的距離為1，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可整理為：(2x+y-7)m+x+y-4=0⇒

2x+y-7=0 x+y-4=0

⇒

x=3 y=1

故直線l恒過(guò)定點(diǎn)（3，1）…（6分）
（2）若直線l被圓C截得的線段的長(zhǎng)度為4

6

，則圓心到直線的距離為1
即

|(2m+1)+2(m+1)-7m-4|

(2m+1)2+(m+1)2

=1⇒

|3m+1|

5m2+6m+2

=1⇒m=±

1

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．