Question

已知F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2

3

，記點(diǎn)P的軌跡為E
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)軌跡E與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M，N．已知A（0，-1），當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓的定義求得橢圓的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，設(shè)出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法得到M，N的坐標(biāo)及其中點(diǎn)坐標(biāo)與k的關(guān)系，把MN的中點(diǎn)代入直線方程得到直線方程中m與k的關(guān)系，由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），
點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2

3

，
∵|PF1|+|PF2|=2

3

＞2

2

=|F1F2|，
∴點(diǎn)P的軌跡為以F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）為焦點(diǎn)的橢圓，且a=

3

，c=

2

，
則b²=a²-c²=1．
∴點(diǎn)P的軌跡為E的方程為：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)Q（x₀，y₀），則有
x12+3y12=3    ①，
x22+3y22=3   ②
②-①得：（x₂-x₁）（x₂+x₁）+3（y₂-y₁）（y₂+y₁）=0  ③
x₂+x₁=2x₀，y₂+y₁=2y₀，

y2-y1

x2-x1

=k，代入③得
x₀+3ky₀=0  ④
∵AM=AN，
∴AQ⊥MN，
∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即
x₀+ky₀+k=0  ⑤
④⑤聯(lián)立解得：Q（-

3k

2

，

1

2

）
代入y=kx+m得：

1

2

=-

3k2

2

+m，
m=

3k2+1

2

  ⑥
∵Q在橢圓面區(qū)域內(nèi)部，
∴(-

3k

2

)2+(

1

2

)2＜1，
即0≤3k²＜1
∴

1

2

≤

3k2+1

2

＜1．
即m∈[

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”在解題中的應(yīng)用，是中檔題．