Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

+a，其圖象相鄰對稱軸之間的距離為

π

2

，f（x）的最大值為

1

2

．
（1）求ω和a；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

24

個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，3π]上的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由函數(shù)的周期求得ω，由最大值求得a的值．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求出它的單調區(qū)間，結合x∈[0，3π]，進一步確定函數(shù)的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可得，函數(shù)的周期為

2π

2ω

=2×

π

2

，求得ω=1．再根據(jù)1+

1

2

+a=

1

2

，求得a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

24

個單位，可得函數(shù)y=sin[2（x+

π

24

）+

π

6

]=sin（2x+

π

4

）的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（

1

2

x+

π

4

） 的圖象．
令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得4kπ-

3π

2

≤x≤4kπ+

π

2

，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，故函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]，k∈z．
再結合x∈[0，3π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，

π

2

]、[

5π

2

，3π]；減區(qū)間為[

π

2

，

5π

2

]．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．