Question

14．已知直線l：y=2x+1，求：
（1）直線l關(guān)于點(diǎn)M（3，2）對(duì)稱的直線的方程；
（2）點(diǎn)M（3，2）關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，點(diǎn)M不在直線l上，所求的直線l′與直線l平行，且點(diǎn)M到這兩條直線的距離相等，設(shè)出直線l′的方程，利用距離公式求出它的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)M關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用對(duì)稱軸的性質(zhì)，列出方程組，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M（3，2）不在直線l上，
∴所求的直線l′與直線l平行，且點(diǎn)M到這兩條直線的距離相等；
設(shè)直線l′的方程為y=2x+b，
即2x-y+b=0，
∴$\frac{|2×3-2+b|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|2×3-2+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$，
解得b=-9或b=1（不合題意，舍去），
∴所求的直線方程為2x-y-9=0；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，2）關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為N（a，b），
則k_MN=$\frac{b-2}{a-3}$=-$\frac{1}{2}$，
即a+2b=7①；
又MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a+3}{2}$，$\frac{b+2}{2}$），
且在直線l上，
∴$\frac{b+2}{2}$=2×$\frac{a+3}{2}$+1，
即2a-b=-2②；
由①、②組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴所求的對(duì)稱點(diǎn)為N（-1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱以及直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．