Question

【題目】已知函數(shù)（， 為自然對數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出，由過點(diǎn)的直線的斜率為可得，討論兩種情況，分別由得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（Ⅱ）原不等式等價(jià)于不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以過點(diǎn)的直線的斜率為，

而，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知， ，

所以，所以．則，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)單調(diào)遞增．

（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，設(shè)，

若，則，函數(shù)單調(diào)遞增且不存在最小值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即當(dāng)時(shí)， 恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．