Question

9．已知函數(shù)$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)$h（x）={4^{f（x）+\frac{1}{2}x}}+m×{2^x}-1，x∈[{0，{{log}_2}3}]$，是否存在實數(shù)m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），可得k的值．
（2）求解出h（x），轉化為二次函數(shù)，利用對稱軸討論其最小值，可得結論．

解答 解：（1）由題意，函數(shù)$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$是偶函數(shù)．
∵f（-x）=f（x），
即${log_4}（{{4^{-x}}+1}）-kx={log_4}（{{4^x}+1}）+kx$對于任意x∈R恒成立，
∴$2kx={log_4}（{{4^{-x}}+1}）-{log_4}（{{4^x}+1}）={log_4}\frac{{{4^{-x}}+1}}{{{4^x}+1}}$，
∴2kx=-x，
∴$k=-\frac{1}{2}$．
（2）由題意，h（x）=4^x+m×2^x，x∈[0，log₂3]，
令t=2^x∈[1，3]，φ（t）=t²+mt，t∈[1，3]，開口向上，對稱軸$t=-\frac{m}{2}$，
當$-\frac{m}{2}≤1$，即m≥-2時，φ（t）_min=φ（1）=1+m=0，解得：m=-1，
當$1＜-\frac{m}{2}＜3$，即-6＜m＜-2時，$φ{（t）_{min}}=φ（{-\frac{m}{2}}）=-\frac{m^2}{4}=0，m=0$（舍去），
當$-\frac{m}{2}＞3$，即m＜-6時，φ（t）_min=φ（3）=9+3m=0，∴m=-3（舍去）
∴存在m=-1使得h（x）最小值為0．

點評 本題考查了對數(shù)的基本運算和二次函數(shù)的最值的討論求解參數(shù)問題．屬于中檔題．