Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x．
（1）求曲線y=f（x）在點M（1，0）處的切線方程；
（2）求y=f（x）的單調區(qū)間．
（3）設a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）令f′（x）＞0得增區(qū)間，令f′（x）＜0得減區(qū)間；
（3）設切點為M（t，t³-t），得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，得到關于t的方程，再令g（t）
=2t³-3at²+a+b，運用導數(shù)求出極值，令極大值大于0，極小值小于0，即可得證．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=x³-x的導數(shù)f′（x）=3x²-1，
則在點M（1，0）處的切線斜率為3-1=2，
故曲線y=f（x）在點M（1，0）處的切線方程為y=2（x-1），即y=2x-2．
（2）解：令f′（x）＞0得x＞

3

3

或x＜-

3

3

；令f′（x）＜0，則-

3

3

＜x＜

3

3

．
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞）；減區(qū)間為(-

3

3

，

3

3

)；
（3）證明：設切點為M（t，t³-t），N（a，b）
易知K_MN=K_切線，所以

t3-t-b

t-a

=3t²-1，
可化為  2t³-3at²+a+b=0，①
于是，若過點N（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程①有三個相異實數(shù)根，記g（t）=2t³-3at²+a+b，
則g'（t）=6t（t-a），
易知g（t）的極大值為g（0）=a+b，極小值為g（a）=2a³-3a³+a+b=b-f（a），
綜上，如果過N（a，b）可作曲線三條切線，則

a+b＞0 b-f(a)＜0

，
即-a＜b＜f（a）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間、求極值，考查函數(shù)與方程的轉化思想，屬于中檔題．