【題目】已知函數(shù).
(1)當,求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)已知, , 均為正實數(shù),且,求證 .
【答案】(1) (2) (3)見解析
【解析】試題分析:1)求導函數(shù),可得切線的斜率,求出切點的坐標,可得函數(shù)y=f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(2)先確定﹣1≤a<0,再根據函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞增,可得f′(x)≥0在(0,1)上恒成立,構造=(x+1)ln(x+1)﹣x,證明h(x)在(0,1)上的值域為(0,2ln2﹣1),即可求實數(shù)a的取值范圍;
(3)由(2)知,當a=﹣1時, 在(0,1)上單調遞增,證明 ,即 從而可得結論.
試題解析:
(1)當時, 則,
則,
∴函數(shù)的圖象在時的切線方程為.
(2)∵函數(shù)在上單調遞增,∴在上無解,
當時, 在上無解滿足,
當時,只需,∴①
,
∵函數(shù)在上單調遞增,∴在上恒成立,
即在上恒成立.
設 ,
∵,∴,則在上單調遞增,
∴在上的值域為.
∴在上恒成立,則②
綜合①②得實數(shù)的取值范圍為.
(3)由(2)知,當時, 在上單調遞增,
于是當時, ,
當時, ,
∴ ,即 ,
同理有 , ,
三式相加得 .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某海產品經銷商調查發(fā)現(xiàn),該海產品每售出噸可獲利萬元,每積壓噸則虧損萬元.根據往年的數(shù)據,得到年需求量的頻率分布直方圖如圖所示,將頻率視為概率.
(1)請補齊上的頻率分布直方圖,并依據該圖估計年需求量的平均數(shù);
(2)今年該經銷商欲進貨噸,以(單位:噸, )表示今年的年需求量,以(單位:萬元)表示今年銷售的利潤,試將表示為的函數(shù)解析式;并求今年的年利潤不少于萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,求的單調區(qū)間;
(2)當時,記的最小值為,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)是R上的奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若對于任意,恒有,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值為4,求實數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】李冶(1192-1279),真定欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時期的數(shù)學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學,數(shù)學著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:求圓的直徑,正方形的邊長等,其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內部有一個圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步,則圓池直徑和方田的邊長分別是(注: 平方步為畝,圓周率按近似計算)
A.步、步B.步、步C.步、步D.步、步
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