Question

已知雙曲線，Q為右支上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFQ的面積為，．
（1）設(shè)，求∠OFQ正切值的取值范圍；
（2）若，求當(dāng) 取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△OFQ的面積為，，可得∠OFQ正切值，根據(jù)m的范圍，即可確定∠OFQ正切值的取值范圍；
（2）先確定Q的坐標(biāo)，再計(jì)算 的最小值，從而可求雙曲線的方程．
解答：解：（1）設(shè)∠OFQ=θ，則，∴
∵
∴-4≤tanθ≤-1
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為，∴
∴，∴
又∵，∴
∴，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)是或
∴，∴，
∴所求方程為．
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等．