Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x＜1}\\{f（x-1），x≥1}\end{array}\right.$，g（x）=k（x+1），若方程f（x）-g（x）=0有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 直線g（x）=k（x+1）恒過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），則方程f（x）-g（x）=0有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）的圖象，從圖象中得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 ，解：直線g（x）=k（x+1）恒過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），
則方程f（x）-g（x）=0有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）有且只有四個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x＜1}\\{f（x-1），x≥1}\end{array}\right.$
的圖象如右圖，
由圖象可得直線在直線AB和AC之間有4個(gè)交點(diǎn)，
由A（-1，0），B（4，1）可得直線AB的斜率為$\frac{1-0}{4-（-1）}$=$\frac{1}{5}$，
由A（-1，0），C（5，1）可得AC的斜率為$\frac{1-0}{5-（-1）}$=$\frac{1}{6}$，
即有k的范圍是[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．
故答案為：[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．