Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：

x2

9

-

y2

4

=1的左、右焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)，且滿足條件：①線段PQ的長(zhǎng)度是虛軸長(zhǎng)的2倍；②線段PQ經(jīng)過(guò)F₂，則△PQF₁的周長(zhǎng)為

 

．若滿足條件②，則△PQF₁的周長(zhǎng)的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的a，b，c，再由雙曲線的定義和三角形的周長(zhǎng)，即可得到滿足條件①②的△PQF₁的周長(zhǎng)，當(dāng)當(dāng)PQ垂直于x軸，則弦長(zhǎng)PQ最短，求出它，即可得到滿足條件②的△PQF₁的周長(zhǎng)的最小值．

解答： 解：雙曲線C：

x2

9

-

y2

4

=1的a=3，b=2，
則有PQ=4b=8，
則由雙曲線的定義可得，
PF₁-PF₂=6，QF₁-QF₂=6，
則滿足條件①②時(shí)，
△PQF₁的周長(zhǎng)為PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=6+6+2×8=28；
若只滿足條件②，
則△PQF₁的周長(zhǎng)為PF₁+QF₁+PF₂+QF₂=（PF₁-PF₂）+（QF₁-QF₂）+2（PF₂+QF₂）
=4a+2PQ=12+2PQ．
當(dāng)PQ垂直于x軸，則弦長(zhǎng)PQ最短，
令x=

13

則有y²=4×（

13

9

-1）=

16

9

，解得，y=±

4

3

．
則有PQ=

8

3

．
則有△PQF₁的周長(zhǎng)的最小值為12+2×

8

3

=

52

3

．
故答案為：28，

52

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．