Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F（c，0），直線l是橢圓C在點(diǎn)B處的切線．設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線l的交點(diǎn)為D，且當(dāng)|BD|=2$\sqrt{2}$c時(shí)，△AFD是等腰三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，結(jié)合給定的條件，得到a=2c，然后，確定其離心率即可；
（Ⅱ）分情況進(jìn)行討論，然后，結(jié)合直線與圓相切的條件進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得直線l與x軸垂直，
∵當(dāng)|BD|=2$\sqrt{2}$c時(shí)，有△AFD是等腰三角形．
∴AF=DF，
∴（a+c）²=（a-c）²+（2$\sqrt{2}c$）²，
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系是相切，證明如下：
∵橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，
∴a=2，A（-2，0），B（2，0），
根據(jù)（Ⅰ），得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2），
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，并整理，得
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則
-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)F（1，0），
（1）當(dāng)k=±$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，±$\frac{3}{2}$），直線PF的方程為x=1，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2），此時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切；
（2）當(dāng)k≠±$\frac{1}{2}$時(shí)，直線PF的斜率為${k}_{PF}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
直線PF的方程為：y=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}（x-1）$，
∴x-$\frac{1-4{k}^{2}}{4k}y-1=0$，
∴點(diǎn)E到直線PF的距離為d=$\frac{|2-\frac{1-4{k}^{2}}{4k}×2k-1|}{\sqrt{1+（\frac{1-4{k}^{2}}{4k}）^{2}}}$=2|k|，
∵|BD|=2R=4|k|，
∴以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)．