Question

14．已知點(diǎn)P（-2，3t-$\frac{1}{t}$），Q（0，2t），（t∈R，t≠0）
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)且與直線(xiàn)PQ相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）是否存在圓心在x軸上的定圓M，對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)t，直線(xiàn)PQ恒與定圓M相切，如果存在，求出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t=2可以求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，則易求直線(xiàn)PQ的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求得該圓的半徑，據(jù)此來(lái)寫(xiě)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用反證法進(jìn)行證明．設(shè)圓M的方程為（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），直線(xiàn)PQ方程為：（t²-1）x+2ty-4t²=0．由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可以求得圓M的圓心和半徑，所以易求得該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，直線(xiàn)PQ的方程為3x+4y-16=0，圓心（0，0）到直線(xiàn)的距離為$\frac{16}{5}$，即r=$\frac{16}{5}$．
所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=$\frac{256}{25}$；
（2）假設(shè)存在圓心在x軸上的定圓M與直線(xiàn)PQ相切．
設(shè)圓M的方程為（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），
直線(xiàn)PQ方程為：（t²-1）x+2ty-4t²=0．
因?yàn)橹本�(xiàn)PQ和圓相切，則$\frac{|（{t}^{2}-1）{x}_{0}-4{t}^{2}|}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+4{t}^{2}}}$=r，
整理得：（t²-1）x₀-4t²=r+rt²①或（t²-1）x₀-4t²=-r-rt²②．
由①可得（x₀-r-4）t²-x₀-r=0對(duì)任意t∈R，t≠0恒成立，則有
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+r-4=0}\\{-{x}_{0}+r=0}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{r=2}\end{array}\right.$．
所以存在與直線(xiàn)PQ相切的定圓M，方程為：（x-2）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用．解題時(shí)需要掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線(xiàn)方程的求法．