Question

如圖，D、E分別是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中點(diǎn)，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求證：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-BC₁-B₁的大小為60°，若存在，求AM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）在線段BC₁上取中點(diǎn)F，連接EF、DF，
所以EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形EFDA₁是平行四邊形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，F(xiàn)D?平面BDC₁，
∴A₁E∥平面BDC₁．
（II）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥C₁C，可得A₁E⊥平面CBB₁C₁．
過點(diǎn)E作EH⊥BC₁與H，連接A₁H，
則∠A₁HE為二面角A1-BC₁-B₁的平面角，
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4可得BC₁邊上的高為，
所以EH=，
又A₁E=2，
所以tan∠A₁HE=，
所以∠A₁HE＞60°．
所以M在棱AA₁上時(shí)，二面角M-BC₁-B₁總大于60°．
故棱AA₁上不存在使二面角M-BC₁-B₁的大小為60°的點(diǎn)M．
分析：（Ⅰ）在線段BC₁上取中點(diǎn)F，連接EF、DF，可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，所以四邊形EFDA₁是平行四邊形，所以A₁E∥FD，再結(jié)合線面平行的判定定理可得線面平行．
（II）由題意可得：A₁E⊥平面CBB₁C₁．過點(diǎn)E作EH⊥BC₁與H，連接A₁H，則∠A₁HE為二面角A1-BC₁-B₁的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)得到此角大于60°，進(jìn)而得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵．