(選修4-5:不等式選講)
已知a,b,c∈R+,且
1
a
+
2
b
+
3
c
≤|x|+|x-2|對?x∈R恒成立,求a+2b+3c的最小值.
分析:由于|x|+|x-2|≥2,即可得到
1
a
+
2
b
+
3
c
≤2,再由柯西不等式即可得到a+2b+3c的最小值.
解答:解:∵|x|+|x-2|≥|x-x+2|=2,
1
a
+
2
b
+
3
c
≤2,
由柯西不等式得到(
1
a
+
2
b
+
3
c
)(a+2b+3c)
=[(
1
a
)2+(
2
b
)2+(
3
c
)2][(
a
)2+(
2b
)2
+(
3c
)2]
≥36
故a+2b+3c
36
2
=18
,當且僅當
1
a
a
=
2
b
2b
=
3
c
3c
即a=b=c時,取等號,
故當a=b=c時,a+2b+3c取最小值18.
點評:本小題主要考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應用、基本不等式等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講:
已知a、b、c是正實數(shù),求證:
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
b
a
+
c
b
+
a
c

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

本題包括(1)、(2)、(3)、(4)四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)答,
若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(1)、選修4-1:幾何證明選講
如圖,∠PAQ是直角,圓O與AP相切于點T,與AQ相交于兩點B,C.求證:BT平分∠OBA
(2)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)
若點A(2,2)在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應變換的作用下得到的點為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣
(3)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)
在極坐標系中,A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動點,B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動點,求AB的最小值.
(4)選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分)
已知a1,a2…an都是正數(shù),且a1•a2…an=1,求證:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-5:不等式選講
已知a>0,b>0,n∈N*.求證:
an+1+bn+1
an+bn
ab

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•徐州模擬)[選修4-5:不等式選講]
已知a,b,c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ<c,求證:
a
cos2θ+
b
sin2θ<
c

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