Question

已知函數(shù)，，且在點

處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求的取值范圍；

（3）設(shè)為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時值的個數(shù)并說明理由.

 

Answer 1

（1） ；（2） ；（3）2個

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)，在點處的切線方程為.所以對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)斜率為1以及過點（1,0）兩個條件即可求出結(jié)論.

（2）由函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，并令可解得兩個根，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，的根在內(nèi)有且僅有一個根.所以通過分類討論即可求的取值范圍.

（3）兩曲線在交點處的切線分別為.若取，當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時.通過求導(dǎo)求出兩函數(shù)的切線的斜率，即可得到這兩斜率不可能是相等，所以依題意可得到兩切線傾斜角有兩倍的關(guān)系，再通過解方程和函數(shù)的單調(diào)性的判斷即可得到結(jié)論.

（1），∴，又，

∴． 3分

（2）；

∴

由得，

∴或． 5分

∵，當(dāng)且僅當(dāng)或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點． 6分

若，即，當(dāng)時；當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，

若，即時，當(dāng)時；當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，

綜上，的取值范圍是． 8分

（3）當(dāng)時，設(shè)兩切線的傾斜角分別為，

則，

∵， ∴均為銳角， 9分

當(dāng)，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當(dāng)，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形． 11分

由得， ，

得，即，

設(shè)，，

當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞

增，由于，且，所以，則，

即方程在有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形．

因此，當(dāng)時，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時，值的個數(shù)

有2個． 14分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的極值.3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.4.分析問題解決問題的能力.5.等價變換的數(shù)學(xué)思想.