Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）已知是的一個極值點(diǎn)，求曲線在處的切線方程

（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f (x)的一個極值點(diǎn)，得f' (2) =0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；

（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解即可.

（Ⅰ）因為，則，

因為是的一個極值點(diǎn)，所以，即，

所以，

因為，，

則直線方程為，即；

（Ⅱ）因為，所以，

所以，設(shè)，則，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故，

所以，所以，

設(shè)，則，

所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，

所以，

所以當(dāng)時，，函數(shù)在是減函數(shù)，

當(dāng)時，，函數(shù)在是增函數(shù)，

因為時，，，，

所以當(dāng)時，方程無實數(shù)根，

當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根，

當(dāng)或時，方程有1個實根.