【題目】如圖，在三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）易知△ 與△均為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而得平面，從而得證；

（2）由勾股定理可得，從而以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用法向量求解二面角即可..

試題解析：

（1）證明：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，由，，知△與△均為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，，，相交于點(diǎn)，所以平面，又平面，所以．

（2）由（1）知△與△均是邊長(zhǎng)為是等邊三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

可得，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為，

由，

所以，二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地一商場(chǎng)記錄了月份某天當(dāng)中某商品的銷售量（單位：）與該地當(dāng)日最高氣溫（單位：）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：

（1）試求與的回歸方程；

（2）判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地月某日的最高氣溫是，試用所求回歸方程預(yù)測(cè)這天該商品的銷售量；

（3）假定該地月份的日最高氣溫，其中近似取樣本平均數(shù)，近似取樣本方差，試求.

附：參考公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，，，若，則，且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實(shí)施教學(xué)方法改革.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)∑骄鶖?shù)再取整，繪制成如下莖葉圖，規(guī)定不低于85分(百分制)為優(yōu)秀，甲班同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為74.

(1)求的值和乙班同學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；

(2)完成表格，若有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”的話，那么學(xué)校將擴(kuò)大教學(xué)改革面，請(qǐng)問學(xué)校是否要擴(kuò)大改革面？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況，并將所得數(shù)據(jù)按照，，，，分成組，繪制成頻率分布直方圖（如圖）.

（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù)；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機(jī)抽取人，再從這人中任選人，設(shè)這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號(hào)召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，樣本中所有人每天用于閱讀的時(shí)間（簡(jiǎn)稱閱讀用時(shí)）都不超過3小時(shí)，其頻數(shù)分布表如下：（用時(shí)單位：小時(shí)）

用時(shí)分組

頻數(shù)

10

20

50

60

40

20

（1）用樣本估計(jì)總體，求該市市民每天閱讀用時(shí)的平均值；

（2）為引導(dǎo)市民積極參與閱讀，有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，從這200人中篩選出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學(xué)．現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會(huì)，求參加交流會(huì)的4名代表中，喜歡古典文學(xué)的男代表多于喜歡古典文學(xué)的女代表的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，、分別為兩個(gè)切點(diǎn)，求面積的最小值．

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