Question

如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)；
（2）問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí)，BC邊上能存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD？
（3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí)，求二面角Q-PD-A的大小．

Answer 1

（1）P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）．（2）a≥0．（3）．

試題分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分
別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示．∵PA=AB=1，BC=a，∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．

（2）設(shè)點(diǎn)Q（1，x，0），則．
由，得x²-ax+1=0．
顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，BC邊上才存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a²-4≥0．
因a>0，故a的取值范圍為a≥0．
（3）易見(jiàn)，當(dāng)a=2時(shí)，BC上僅有一點(diǎn)滿足題意，此時(shí)x=1，即Q為BC的中點(diǎn)．
取AD的中點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥PD，垂足為N，連結(jié)QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三點(diǎn)共線，∴．
又，且，
故．于是．
故．
∵，∴．∴∠MNQ為所求二面角的平面角．
∵，∴所求二面角為．
點(diǎn)評(píng)：空間向量就是一把解決立體幾何問(wèn)題的鑰匙，利用向量解答立體幾何問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，降低了問(wèn)題解決的難度