Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖）．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過4km的區(qū)域．
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≥2時(shí)，．當(dāng)x＜2時(shí)，．由此能得到考查區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P₁，P₂的直線為l₁，過點(diǎn)P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得，然后由根的判別式和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知．
當(dāng)x＜2時(shí)，由知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上．此時(shí)短半軸長．因而其方程為．
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為和．


（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P₁，P₂的直線為l₁，過點(diǎn)P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得
，
由△100×3m²-4×16×5（m²-4）=0，
解得m=8或m=-8．
從圖中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)，直線l與C₂的公共點(diǎn)到直線l的距離最近，此時(shí)直線l的方程為，l與l₁之間的距離為．
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離，而d'＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，
得，所以n≥4．
故冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的合理運(yùn)用．