Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-3•2^-x．
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）=

1

2

，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)的奇偶性將變量“x＜0”轉(zhuǎn)化為“x＞0”即可利用已知條件求出當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式，得到本題結(jié)論；（2）利用函數(shù)解析式進(jìn)行分類研究，求出x的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-3•2^-x．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-[2^-x-3•2^x]=3•2^x-2^-x．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=3•2^x-2^-x．
（2）∵f（x）=

1

2

，
∴

x＞0 2x-3•2-x= 1 2

或

x＜0 3•2x-2-x= 1 2

，
∴x=1或x=log2

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用和求方程的解，還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．