Question

（理）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AB=AC=1，∠ABC=

π

4

，D、M、N分別是CC₁、A₁B₁、BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線MN與AC所成角的大��；
（2）求點(diǎn)M到平面ADN之間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為E，連接EN，證明∠MNE或其補(bǔ)角即為異面直線MN與AC所成的角，連接ME，在Rt△MEN中，可求異面直線MN與AC所成角的大��；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面ADN的一個(gè)法向量，即可求點(diǎn)M到平面ADN之間的距離．

解答： 解：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為E，連接EN，
則EN∥AC，且EN=

1

2

AC，
所以∠MNE或其補(bǔ)角即為異面直線MN與AC所成的角．…3分
連接ME，在Rt△MEN中，tan∠MNE=

ME

NE

=2…5分
所以異面直線MN與AC所成的角為arctan2．…6分
（2）因?yàn)锳B=AC=1，∠ABC=

π

4

，所以AB⊥AC，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AC、AA₁所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則：M(

1

2

，0，1)，N(

1

2

，

1

2

，0)，D(0，1，

1

2

)，…8分
設(shè)平面AND的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)

則

n • AN =0 n • AD =0

⇒

x+y=0 y+ z 2 =0

所以平面ADN的一個(gè)法向量為

n

=(1，-1，2)．…10分
又

AM

=(

1

2

，0，1)，
所以點(diǎn)M到平面OAD的距離d=

| AM • n |

| n |

=

| 1 2 +2|

6

=

5 6

12

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小、考查點(diǎn)M到平面ADN之間的距離，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．