【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,,點是線段上任意一點.
(1)求證:;
(2)試確定點的位置,使與平面所成角的大小為30°.
【答案】(1)證明見解析(2)當時,與平面所成角的大小為
【解析】
(1)連結,通過證明平面,即可得.另外可以利用空間向量證明線線垂直;
(2)由⊥平面可得與平面所成角為,,在中可求出值,即可得到點的位置.另外還可以用空間向量法求線面角.
(1)證明:連結,因為四邊形為正方形,
所以,,
又因為⊥平面,平面,
所以.由平面.
又因為平面,所以.
(2)解法一:設,因為⊥平面,
所以與平面所成角為
在中,由.
所以,當時,與平面所成角的大小為.
解法2:(1)以為坐標原點,建立空間直角坐標系.
,,,.
設,則
則,
因為,
所以;
(2)取平面的一個法向量為
因為,可知直線的一個方向向量為.
設與平面所成角為,由題意知.與所成的角為,
則,
因為,所以,,
解得,.
當時,與平面所成角的大小為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式.某大型超市為調查顧客自由購的使用情況,隨機抽取了100人,調查結果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(1)現(xiàn)隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率;
(2)從被抽取的年齡在[50,70]使用的自由購顧客中,隨機抽取2人進一步了解情況,求這2人年齡都在[50,60)的概率;
(3)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是國家統(tǒng)計局今年4月11日發(fā)布的2018年3月到2019年3月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.(注:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比),根據該折線圖,下列結論錯誤的是( )
A.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格同比均上漲
B.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格環(huán)比有漲有跌
C.2019年3月全國居民消費價格同比漲幅最大
D.2019年3月全國居民消費價格環(huán)比變化最快
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為1的正方形ABCD沿x軸正向滾動,先以A為中心順時針旋轉,當B落在x軸時,又以B為中心順時針旋轉,如此下去,設頂點C滾動時的曲線方程為,則下列說法不正確的是
A.恒成立B.
C.D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,兩座建筑物,的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是和,從建筑物的頂部看建筑物的視角.
(1)求的長度;
(2)在線段上取一點(點與點,不重合),從點看這兩座建筑物的視角分別為,,問點在何處時,最。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,P是拋物線E:y2=4x上的動點,F是拋物線E的焦點.
(1)求|PF|的最小值;
(2)點B,C在y軸上,直線PB,PC與圓(x﹣1)2+y2=1相切.當|PF|∈[4,6]時,求|BC|的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在等比數列{an}中,an>0 (n∈N ),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項為2.
(1) 求數列{an}的通項公式;
(2) 設,數列{bn}的前n項和為Sn,當最大時,求n的值.
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